Lichterketten-Knobelei :-)

  • Eine nette Knobelei für den gestandenen Ledstyler:
    Ihr wollt eine ordentlich lange, parallel verschaltete Lichterkette bauen.


    Von einer perfekt stabilisierten Spannungsquelle gehen also zwei Drähte ab, an denen alle paar Zentimeter, in jeweils gleichem Abstand, eine Lampe hängt.


    Der Gesamtstrom wird dummerweise so hoch, dass der Spannungsabfall über der Leitung berücksichtigt werden muss. Bei zu dünnem Draht werden die Lampen sonst zum Ende hin immer dunkler.


    Was die Sache aber vereinfacht: Ihr habt - frisch aus der Zukunft - 'ne ganze Kiste eines völlig neuartiges Leuchtmittels mitgebracht, das sich ganz schlicht wie ein idealer Widerstand verhält!


    Das folgende Bild zeigt oben das Prinzip einer solchen Lichterkette mit drei Lampen (Ra).
    Alle Lampen (Ra) haben einen identischen Widerstandswert.
    Die Rb sind die (unerwünschten, aber real nun mal vorhandenen) Widerstände der Kupferleitung.


    [Blockierte Grafik: http://edv-dompteur.de/forum/Bilder/Lichterkette.jpg]


    Wegen der stets gleichen Abstände sind die Rb der ersten Schaltung zum Glück natürlich alle identisch.


    Im Ersatzschaltbild (untere Schaltung) habe ich das vereinfacht dargestellt und die jeweils oberen und unteren Rb zu einem Rc (mit logischerweise doppeltem Wert) zusammengefasst.
    Beide Schaltungen sind für die folgende Berechnung also offensichtlich gleichwertig.


    Kein Problem, da sonstwas zu berechnen, oder?


    Aufgabe:


    Gesucht ist jetzt erstens die Formel, die für eine beliebige Anzahl (n) gleichmäßig verteilter Lampen den Gesamtwiderstand der Kette berechnet.
    Diesen bezeichnen wir als "RG".
    Die Werte vom Lampenwiderstand Ra und Leitungswiderstand Rc sind dabei beliebig.


    Zweitens ist jene Formel gesucht, die die Ausgangsspannung (UA) liefert, in Abhängigkeit von der Eingangsspannung. Natürlich ebenfalls für eine beliebige Anzahl gleichmäßig verteilter Lampen.


    Nicht zugelassene Lösungen:
    - Excel-Tabelle
    - Ein Programm, das die Kette durchrechnet.


    Zugelassene Lösung ist ausschließlich die jeweilige Formel, wie man sie gewöhnlich in einem Tabellenbuch abgedruckt finden würde.



    Die Aufgabenstellung dürfte wohl unmissverständlich sein und gesucht sind wirklich nur die zwei Formeln (bitte mit Herleitung/Beweis), mit der man künftig eine jede Kette dieser Art durchrechnen kann.
    Widerstand und Ausgangsspannung einer realen Kette sind dabei völlig uninteressant; nur die universellen Formeln für eine beliebige Anzahl (n) identischer Glieder sind gesucht.


    - Zu banal für Vollprofis?
    Na, dann probiert es doch mal!


    Als ich neulich damit konfrontiert wurde und siegessicher verkündete, das wäre binnen ganz weniger Minuten erschlagen, habe ich mich aber schwer blamiert!



    Nochmal zusammengefasst haben wir für die Formeln also folgende Parameter:


    UE (Eingangsspannung)
    Ra (Lampenwiderstand einer einzelnen Lampe)
    Rc (Widerstand der zweiadrigen Leitung von Glied zu Folgeglied)
    n (Anzahl identischer Glieder)


    RG (gesuchter Gesamtwiderstand)
    UA (gesuchte Ausgangsspannung)



    - Viel Spaß! :-)

  • Hallo Elite,


    schön, dass Du Dich an dem Rätsel beteiligst!
    Leider habe ich bereits in der zweiten Zeile Deines Lösungsweges einen kapitalen Fehler gefunden ...


    Die erste Zeile ist noch korrekt:
    UE=URc1+URa1


    In der zweiten Zeile kommt dann der Flüchtigkeitsfehler:
    Du setzt da das Verhältnis der Spannungen gleich dem Verhältnis von Rc1 zu Ra1.
    Das geht in diesem Fall nicht. Rechts vom Gleichheitszeichen darf unter dem Bruchstrich nicht Ra1 stehen.
    Dort müsste vielmehr der Teil-Gesamtwiderstand stehen, der sich aus der Parallelschaltung von Ra1 und seinen Folgegliedern ergibt.


    Schade, denn das (leider falsche) Ergebnis wäre ja so schick elegant. Einfach nur UE durch die n-te Potenz eines Ausdrucks - wäre traumhaft!
    Dummerweise beeinflusst jedes weitere Glied die vorherigen Stufen.
    Der Gesamtwiderstand wird mit jedem Glied immer geringer, der Spannungsabfall über Rc1 daher immer größer.



    Würde mich freuen, wenn Du am Ball bliebest!
    Ich musste selbst erstaunt feststellen, dass meine verbliebenen Mathefähigkeiten da an ihre Grenzen stoßen. Inzwischen habe ich mich zwei Nächte durch Wikipedia gehangelt und massenhaft Artikel über Polynome und große Mathematiker inhaliert.
    Ich bin überzeugt, dass eine mathematisch elegante Lösung existieren muss, denn es gibt in der Schaltung keine Unstetigkeit, die uns 'ne Kerbe oder Beule in die Funktion hauen könnte.


    Wahrscheinlich kommt man schneller dahinter, wenn man mal ein Programm schreibt, dass die Kette durchrechnet und die Funktionen von RG und UA schön ansehnlich plottet.
    Aber diese Vorgehensweise wäre ja unsportlich, da würden sich die alten Griechen ja im Grabe umdrehen!

  • Hi Elite,


    ist ja witzig, Dein Lösungsbogen sieht genauso aus, wie meiner, inklusive der farbigen Umrandungen.
    Und willkommen im Club derer, die daran scheitern, die sich mit jedem Glied immer weiter aufblähende Formel zu vereinfachen.


    Dabei ist eines klar: Das ganze ist nur eine Funktion der beiden Widerstände und von n.
    Es müsste möglich sein, zu Anfang das Spannungsteilerverhältnis der Widerstände zu bilden und dann eine Potenz abzuleiten, in der n vorkommt.
    Dann könnte man schick mit dem Verhältnis hantieren (also einem einzigen Wert), statt mit zwei Widerstandswerten.
    Dann hätten wir also nur noch zwei Größen, nämlich dieses Widerstandsverhältnis und n, aus dem dann die Formel abzuleiten wäre.


    Meine Idee:
    Man muss zunächst auf jeden Fall den Gesamtwiderstand von zwei Gliedern (also vier Widerständen) berechnen - was ja kein Problem ist.
    Ab da wiederholt sich nämlich für jedes weitere Glied folgendes Schema:
    1) Parallelschaltung des bisherigen Gesamtwiderstandes zu einem weiteren Ra berechnen.
    2) Einen Rc in Reihe hinzuaddieren.


    Das wird deutlich, wenn man sich vorstellt, dass jedes weitere Glied links angefügt wird.
    So wie Du es ja auch gemacht hast - Du hast (wie ich) die Schaltung von rechts nach links durchgerechnet.


    Mit einem Computerprogramm ist das in 'ner Schleife schnell erschlagen. Diese müsste n-2 mal durchlaufen werden.
    Aber wie stellt man das in Form einer Formel dar?
    Ich scheitere noch an der Umformung in eine Potenzschreibweise.


    Möglicherweise vereinfacht es sich auch, wenn man jede Parallelschaltung stets als Kehrwert der Summe der Kehrwerte der jeweiligen Widerstände behandelt, statt als eine Multiplikation dividiert durch eine Addition.
    Oder eben über die erwähnte Verhältnisbildung.


  • so klappts schonmal für die ersten zwei^^ Nimmt man noch ein Glied dazu, siehts dann wieder blöd aus. Damit sieht man dann gleich, dass die Betrachtung von nur zwei Gliedern nicht ausreicht. Um da nun genauer zu werden müsste man den Therm für #3 auseinandernehmen. Wir scheinen mit x Ra + Rc schon mal in die selbe Richtung zu denken. Ich habs auch mal mit dem Taschenrechner (CAS) versucht. Wenn man aber nicht weiß, was man einzugeben hat, ist das aber völlig wertlos.

  • Damit sieht man dann gleich, dass die Betrachtung von nur zwei Gliedern nicht ausreicht. Um da nun genauer zu werden müsste man den Therm für #3 auseinandernehmen.

    Nee, glaube ich nicht.
    Zwei Glieder müssen IMHO ausreichen, nur dass der Multiplikator dieses Terms offenbar nicht identisch bleibt, sondern sich mit jedem Glied verändert.
    Eine simple Potenzierung scheint das Problem daher nicht zu erschlagen.
    Gefühlsmäßig würde ich sagen, dass da zwei Potenzen im Spiel sein müssten, was man mathematisch aber wohl auch anders ausdrücken kann.


    Wir scheinen mit x Ra + Rc schon mal in die selbe Richtung zu denken.

    Präziser: Wir scheinen mit (Ra+Rc)*x in die selbe Richtung zu denken. Wobei x sich bei jedem weiteren Glied verändert.
    Aber x verändert sich dummerweise anscheinend nicht in der Form, dass ein fester Exponent das korrekt erledigen könnte.


    Klar ist, dass x in jedem Fall stets kleiner als 1 sein muss. Der Widerstand nimmt schließlich stetig ab.
    Der Wert von x bewegt sich von Eins (beim ersten Glied) mit jedem weiteren Glied abflachend in Richtung Null, soviel ist klar.
    Sein Funktionsgraph wäre also eine abflachend gen Null tendierende Kurve, mit Eins als Startwert.


    Die Werte des Gesamtwiderstandes beginnen bei Ra+Rc (für ein einzelnes Glied) und tendieren in Richtung Rc (unendlich lange Kette), ohne den Wert von Rc jedoch jemals erreichen zu können.


    Wenn dieses x also kleiner als Eins ist, dann ergibt eine feste Potenz von x immerhin schon mal eine abnehmende Kurve.
    Aber da fehlt noch was.
    Das wird deutlich, wenn man mal solche Werte für die Widerstände einsetzt, die RG beim zweiten Glied halbieren.
    Eine stetige Halbierung (0,5 hoch n) ergibt zwar ebenfalls eine abnehmende, flacher werdende Kurve, aber es ist in unserer Schaltung nicht möglich durch das Hinzufügen eines weiteren, identischen Gliedes eine weitere Halbierung zu bewirken.


    Ich behaupte daher mal, dass sich jedes Mal entweder das x oder dessen Exponent (vielleicht auch beide) ändern.


    Ich habs auch mal mit dem Taschenrechner (CAS) versucht. Wenn man aber nicht weiß, was man einzugeben hat, ist das aber völlig wertlos.

    :-) Kommt mir bekannt vor ...
    Ich habe mich auf Wolfram Alpha ausgetobt:
    http://www.wolframalpha.com/
    Da kann man Formeln direkt eintippen, duschen gehen, und dann spuckt der irgendwas aus, das viiieel zu kompliziert aussieht :-)
    Und dann weiß man nicht, wie man dem Ding klarer verklickern kann, was man von ihm will.



    Folgender Vorschlag:
    Statt "Ra" sagen wir ab jetzt nur noch "a".
    Statt "Rc" sagen wir ab jetzt nur noch "c".
    Die Gesamtwiderstände für 1 bis n Glieder nennen wir "x" und fügen zur Verdeutlichung um welches Glied es sich handelteinen Index hinzu (x1, x2, x3 ...)
    Das vereinfacht die ganze Formelei.


    Die Formel für zwei Glieder sieht dann so aus:



    (Das mit der Tiefstellung des Indexes macht mein Formeleditor irgendwie nicht mit; habe den Index daher gelb markiert)


    Lässt man den Index weg, lässt sich das in dieser Schreibweise auch bequem in Wolfram Alpha, oder einen sonstigen Solver eintippen.

  • echt krass wie viel sinnvollen Inhalt du dir in Kürze aus dem Ärmel schüttelst.
    Noch ein Paar Gedanken zum Abend: mit (Ra+Rc)*x muss x zwischen null und eins liegen, so viel steht fest. Ich denke aber nicht, dass man hier mit Kurvendiskussion arg weiter kommt, schließlich willst du ja aufgrund von Variablen auf exakte Werte kommen und keine Kurve annähern. Dennoch bleibt dadurch eventuell eine Hilfe: Extremwertbetrachtung.

  • Nö, ich will auch in der Tat nicht mit Kurvendiskussion anfangen. Darin bin ich ohnehin nicht gut.
    Die Überlegung hilft mir lediglich ein falsches Ergebnis auf den ersten Blick zu entlarven, ohne mit viel Hirnschmalz die ganze Formel zerdröseln zu müssen. Bin faul!


    Wenn der Ausdruck, der potenziert wird, größer als Eins ist, dann muss er falsch sein. Weitere Vertiefung kann man sich dann gleich sparen.
    Ebenfalls, wenn der Ausdruck negativ ist.



    Eben dachte ich, ich hätte die Formel endlich gefunden. Sie stimmt aber ebenfalls nur für ein und für zwei Glieder.
    Ab dem dritten Glied haut es wieder nicht hin.


    Dennoch will ich erklären, was ich tat, denn der Ansatz erscheint mir sinnvoll (und führt in Wolfram Alpha ein, wo ich selbst Anfänger bin):
    Ich habe (wie gehabt) den Gesamtwiderstand eines einzelnen Gliedes (a+c) mit einem Ausdruck multipliziert, der "mit irgendwas" potenziert wird.
    Der Exponent ist (wie bei Dir) n-1


    Als besagten Ausdruck habe ich das Verhältnis aus dem Gesamtwiderstand zweier Glieder zum Gesamtwiderstand eines einzelnen Gliedes genommen.


    Nach vorheriger Notations-Vereinbarung also x2/x1 als Ausdruck.



    Als Formel sieht das so aus und ist in meinen Augen intuitiv verständlich:


    Oberhalb vom großen Bruchstrich steht vereinfacht gesagt x2 (also der Gesamtwiderstand zweier Gleider). Unterhalb vom großen Bruchstrich steht x1 (Gesamtwiderstand eines Gliedes). Der Rest dürfte klar sein.



    Folgender String ergibt bei Wolfram Alpha eingegeben obige, schicke Darstellung nebst Ergebnis der Formel:


    x=(a+c)*((((((a+c)*a) / ((a+c)+a))+c))/(a+c)) ^( n-1) where n=1 where a=10 where c=2


    Den Wert für n kannst Du natürlich beliebig ändern.
    Ebenso die Werte für a und c.
    Ich habe mal die Werte von n=1, n=2 und n=3 durchgespielt, bei Ra=10 Ohm und Rc=2 Ohm.


    Für n=1 kommt korrekt 12 (Ohm) heraus.
    Für n=2 kommt korrekt 7,454545... heraus.
    Für n=3 stimmt es nicht mehr. Korrekt wären 6,2708333... Ohm. Wolfram liefert aber 4,631 als Ergebnis (1631/363)


    Genau das ist IMHO auch der Haken: Ein letztendlich fester Ausdruck, potenziert mit einem anderen festen Ausdruck, kann es als Multiplikationsfaktor von (a+b) nicht bringen.


    Mein Ansatz, das Verhältnis der beiden ersten Gesamtwiderstände zu bilden, erscheint mir gut.
    Wenn das wirklich gut ist, muss an dem Exponenten geschraubt werden.
    Aber der sieht intuitiv so plausibel aus ...


    Wolfram Alpha bringt ein zu geringes Ergebnis.
    Wenn der Exponent unverändert bleiben soll, muss daher am Ausdruck in der dicken Klammer geschraubt werden. Der muss größer werden, ohne Einfluss bei n=1 und n=2 zu haben, denn da stimmen die Ergebnisse ja.
    Das würde durch geschickten Einbau einer zweiten Potenz hinzukriegen sein, nur schnalle ich das Zusammenspiel noch nicht.

  • Intuitiv würde ich sagen, dass es so richtiger ist:

    Denn wenn bei dir n gegen unedlich geht, wird die große Klammer 0 und damit x=0. Was nicht sein kann, denn 1c wird immer bleiben, egal wie viel parallel geschalten wird.
    Damit passt es zwar schon bei n=2 nicht mehr, die Kurve geht aber nicht mehr so schnell gegen null.
    Immerhin wird die Klammer bei n=1 zu 1 und bei n=unendlich zu 0. Das stimmt ja, wenn man die Extremwerte betrachtet.

  • Hi Elite,


    Dein Einwand ist im Prinzip klasse. Wenn er denn richtig wäre, wäre er sogar richtig klasse! :-)

    Zitat

    wenn bei dir n gegen unedlich geht, wird die große Klammer 0 und damit x=0.

    Sicherlich meinst Du es richtig. Ich formuliere es nur noch mal deutlich:
    Der Ausdruck in der Klammer wird in meiner Formel niemals Null.
    Was dort steht, ist ein fixer Wert. Bei a=10 und c=2 steht innerhalb der Klammer nix anderes als 7,454545 geteilt durch 12.
    Innerhalb der Klammer steht also stets und immer 0,6212121
    Die Klammer selbst, bzw. sein Inhalt, wird also niemals Null, da ein Fixwert.


    Da dieser Wert (der kleiner als Eins ist) nun aber potenziert wird, tendiert der aus dieser Potenzierung resultierende Wert, mit größer werdendem n, immer mehr gen Null.
    Die schließlich erfolgende Multiplikation von (a+c) mit Null macht den ganzen Ausdruck zu Null. Das kann
    aber nicht sein, da bei einer unendlich langen Kette mindestens c stehen
    bleiben muss.


    Gut, habe ich verstanden. Sicherlich meintest Du das so. Und da hast Du in der Tat recht, das hatte ich übersehen. Vielen Dank, für den guten Hinweis!


    Es muss bei meiner Formel also zu aller Multiplikation und Potenzierung ein Offset um c her. Also eine Addition von c.
    Weil diese Addition in meiner Formel fehlte, lieferte Wolfram ab dem dritten Glied einen zu geringen Wert - das ist plausibel!



    Nochmal, nur für die eigene Klarheit, die Fakten mit etwas Abstand betrachtet:

    • Wir haben mit der potenzierten Klammer einen Wert, der von 0,6212121 angefangen, in einer abflachenden Kurve immer weiter gen Null tendiert,
    • Wir benötigen außerhalb des potenzierten und multiplizierten Terms eine Addition von c als Offset.
    • Für die ersten drei Werte von n müssen folgende Resultate herauskommen:
      12
      7,454545
      6,270833

    Bei n=1 würde die Potenz der Klammer mit (n-1) als Resultat eine 1 ergeben.
    Wird der Offset von c hinzuaddiert (in meinem Beispiel ist c=2) hätten wir 3 als Ergebnis, brauchen aber 12.
    Sinnvoll addiert hatten wir schon, da muss also noch eine Multiplikation her:


    - Entweder eine Multiplikation der 3 mit vier (wo sollte die herkommen?), oder
    - (tädääää!) eine Multiplikation der 1 mit 10, zu der dann 2 (also c) hinzuaddiert wird.


    Letzteres sieht sinnvoll aus, weil sowohl c=2, als auch a=10 direkte Eingangsparamter sind.
    Das ist ja aber auch genau das, was Du geschrieben hast.
    Für n=1 stimmt Deine Formel also.


    Bei n=2 stimmt sie nicht mehr, weil der Wert in der Klammer potenziert mit 1 schlicht 0,6212121 ergibt.
    Multipliziert mit 10 und anschließend 2 hinzuaddiert, ergäbe das 8,212121. Wir brauchen aber 0,7454545.


    Ich folgere daraus, dass der Wert innerhalb der Klammer nicht stimmen kann.
    Die Potenz der Klammer mit (n-1) ist zu perfekt um falsch sein zu können.
    An der Addition von c darf auch nicht geschraubt werden, die ist sinnig. Nochmal danke für diesen Hinweis!



    Mal umkekehrt betrachtet:
    Dass es für ein einzelnes Glied stimmt, ist leicht hinzubekommen, weil die mit (n-1) potenzierte Klammer (egal wie komplex oder falsch der Inhalt) stets Eins ergibt.


    Damit es für zwei Glieder stimmt, müsste der Formelteil, zu dem c (also 2) addiert wird, folglich 7,454545-2 sein. Also 5,454545
    Wir suchen also einen Ausdruck, der mit 1 potenziert 5,454545 ergibt. Das ist wäre folglich die 5,454545 selbst ...


    Bei n=3 wird mit (n-1) potenziert, also mit Zwei. In dem Fall muss als Ergebnis der potenzierten Klammer (vor der Addition von c) 6,270833-2=4,270833 herauskommen.
    Innerhalb der Klammer steht in diesem Fall ergo sqr(4,270833).
    Bzw. 4,270833 hoch (1/2), was das gleiche ist.
    Noch anders geschrieben: 4,270833 hoch (1/(n-1)).


    Problem: Diese Potenz innerhalb der Klammer haut bei n=3 insofern nicht hin, dass der damit potenzierte Wert in der Klammer ein anderer sein muss.
    Daraus folgere ich, dass innerhalb der Klammer ein Bruch stehen muss, der im Zähler und Nenner mit je unterschiedlichem Ausdruck potenziert wird, in dem jeweils n vorkommt.


    Das Resultat dieses Bruchs würde sich bei unterschiedlichem n unterscheiden.
    Das enspricht einer schon länger von mir geäußerten Vermutung, dass der Ausdruck innerhalb der Klammer nicht fix sein darf, sondern sich mit n verändern muss.



    Wenn man diese Anforderungen jetzt schulisch, klassisch als Aufgabe schreibt (Gegeben: Blabla, Gesucht: Blubblubb), müsste dieser Bruch, der im Zähler und Nenner irgendwie (und auf unterschiedliche Weise) mit n potenziert wird, zu ermitteln sein.
    Aber dafür brauche ich 'ne volle Kanne grünen Tee, ey!

  • Also ich konnte ja nicht widerstehen und habe mal schnell 'nen 12-Zeiler gehackt, der den RG einer beliebig langen Kette durchrechnet.


    Der Programmcode ist in OPL auf 'nem ollen Psion Serie 5mx pro geschrieben.
    Die Ausgabe erfolgt mit 14 Stellen hinter dem Komma.



    Da für n hier 20 angegeben ist, gibt das Programm 20 Zeilen aus. Also alle Resultate für die Ketten von 1 bis 20 Gliedern.
    Jeder berechnete Wert hat eine Genauigkeit von 14 Stellen nach dem Komma.
    Da der Code plausibel und überschaubar ist und da die Werte für n=1 bis n=4 stimmen, darf Fehlerfreiheit angenommen werden.


    Frage: Kennt jemand 'nen brauchbaren Online-Interpreter für Basic-Code?
    - Dann kann man künftig so was mal schnell ausprobieren, ohne erst auf dem heimischen Rechner coden zu müssen.



    In Programmcode gegossen, war das Thema jedenfalls in fünf Minuten erledigt.
    Aber noch immer gelang es mir nicht, diesen simplen Code in Form einer mathematischen Formel darzustellen :wacko:
    Wer bekommt das hin?

  • Ich habe mit hoher Erwartung bei jemandem nachgefragt, der es wissen müsste und wurde nicht enttäuscht. Die Antwort ist eigentlich ganz logisch.


  • Hi Elite,


    fein, dass auch Du am Ball geblieben bist und nachgehakt hast!


    Also die erste Zeile ist natürlich offensichtlich korrekt:



    Bei der zweiten Zeile gerate ich bereits ins Schwimmen.


    Das RG(n-1) unter dem Bruchstrich kann ich nicht ganz einordnen. Weiß nicht, welcher "RG" das sein soll?
    Ist damit der RG aus der ersten Zeile gemeint (also 12), multipliziert mit (n-1)?
    Also 12 Ohm mal (n-1)
    ?



    Oder ist unter dem Bruchstrich tatsächlich das hier gemeint?
    RG * (n-1)
    Mit RG Im Sinne des tatsächlich vollen Gesamtwiderstandes, multipliziert mit (n-1)
    ?
    Falls ja, dann ist die Formel nicht nützlich. Denn wenn man, um RG berechnen zu können, in der Formel den Ausdruck RG * (n-1) benötigt, also den jeweils um ein Glied kürzeren Gesamtwiderstand, dann muss man die Formel ja notgedrungen so oft durchrechnen, bis keine Glieder mehr übrig sind.
    Genau das soll ja vermieden werden.


    In Deiner linearen Entsprechung, die Du weiter unten aufführst, verwendest Du ja die erste Variante. Du setzt also für den RG unter dem Bruchstrich 12 ein.
    Rg(1) = 10 + 2 = 12


    Rg(2) = 1/(1/10 + 1/Rg(1) ) + 2 = 1/(1/10 + 1/12) + 2 = … = 7,4545


    Das stimmt dann zwar für ein Glied und für zwei Glieder, aber bereits ab dem dritten Glied kommt wieder Müll heraus:
    9,0589
    Korrekt wäre:
    6,2708


    Den Rest habe ich dann nicht vertieft inhaliert, denn wenn der volle RG schon nicht stimmt, können die anderen Formeln auch nicht funzen, da sie RG beinhalten.



    Zitat

    Gesamtwiderstand: rekursiv, immer rechten Teil als black-box betrachten,
    der man halt noch Ra parallel und Rc in Reihe dranbastelt…

    Ja, das ist genau das, was mein Quellcode tut.
    Nur sehe ich noch kein Land, das als Formel auszudrücken.
    Eine Fakultät kann ich da übrigens ohnehin nicht entdecken.



    Es wäre schick, wenn Deine Formelbeispiele wenigstens für drei Glieder korrekte Werte liefern würden. denn wie wir schon früher gesehen haben, stimmt es für ein Glied und zwei Gleider lustigerweise immer.
    Weil (n-1) da entweder zu Null oder zu Eins wird.

  • hey Irrlicht,


    Also erstmal: alles was oben als Zitat aufgeführt ist, ist nicht auf meinem Mist gewachsen sondern entstammt der Feder meiner verlässlichen Quelle.^^

    In Deiner linearen Entsprechung, die Du weiter unten aufführst, verwendest Du ja die erste Variante. Du setzt also für den RG unter dem Bruchstrich 12 ein.
    Rg(1) = 10 + 2 = 12


    Rg(2) = 1/(1/10 + 1/Rg(1) ) + 2 = 1/(1/10 + 1/12) + 2 = ? = 7,4545


    Das stimmt dann zwar für ein Glied und für zwei Glieder, aber bereits ab dem dritten Glied kommt wieder Müll heraus:

    nö! Stimmt.

    Code
    1. Rg(1) = 10 + 2 = 12 = 12
    2. Rg(2) = 1/(1/10 + 1/Rg(1) ) + 2 = 1/(1/10 + 1/12) + 2 = 82/11 = 7,45455
    3. Rg(3) = 1/(1/10 + 1/Rg(2) ) + 2 = 1/(1/10 + 1/(82/11)) + 2 = 301/48 = 6,27083
    4. Rg(4) = 1/(1/10 + 1/Rg(3) ) + 2 = 1/(1/10 + 1/(301/48)) + 2 = 4572/781 = 5,85403
    5. Rg(5) = 1/(1/10 + 1/Rg(4) ) + 2 = 1/(1/10 + 1/(4572/781)) + 2 = 35242/6191 = 5,69246


    mit dem Ergebnis von Rg(n) wird also bei Rg(n+1) weitergerechnet -> rekursiver Selbstverweis. Oder andersrum: Rg(n) = 1/(1/Ra + 1/(Rg*(n-1))) + Rc

  • Ja aber dann bringt die Formelei doch nix, oder bin ich zu dumm?
    Dann muss man die Kette doch Glied für Glied durchrechnen, man muss also bei 200 Gliedern geschlagene 200 mal die Formel durchackern!


    Mit 'nem Programm erledigt das mein 12-Zeiler. Ich kann aber einfach nicht glauben, dass das mathematisch nicht eleganter geht.


    Eine oder zwei Vorberechnugen für Zwischenergebnisse halte ich ja noch für verschmerzbar. Z. B. für den RG von einem einzigen Glied (hier: 12 Ohm) und meinetwegen noch ein Verhältnis zwei Werte zueinander.
    Aber ab da sollte es doch möglich sein, eine elegant aussehende Formel zu verwenden. Etwa wie bei der Rentenberechnung (etwa in der Mitte des Artikels):


    http://de.wikipedia.org/wiki/G…sche_Reihe#Rentenrechnung

  • Tatsächlich, ich sehe es erst jetzt: Die Formel basiert ja nur auf Adition der Leitwerte.
    Menno ey, so weit waren wir doch schon lange!


    Statt der üblichen Berechnung zweier paralleler Widerstände:
    a*b/(a+b)


    kann man genauso gut zunächst deren Leitwerte addieren:
    1/a + 1/b und davon dann wiederum den Kehrwert bilden:
    1/(1/a +1/b)


    Das sind gleichwertige Berechungen, die nix vereinfachen.


    Dein Fachmann hat das für unseren Fall korrekt umgesetzt und jedes Mal noch den Rc addiert.
    Das ist natürlich zutiefst logisch, aber so weit waren wir schon lange.
    Schnurzegal, in welcher Variante, ob nun in herkömmlicher Form a*b/(a+b) oder ob über die Addition der Kehrwerte mit anschließender gasamter Kehrwertbildung gearbeitet wird. Beides sind äquivalente Formeln für die Parallelschaltung.


    Die Formelei Deines Fachmanns hat uns also kein Stück schlauer gemacht.
    Eine Formel, die pro Glied einmal durchlaufen werden muss, bei 200 Gliedern also 200 Mal, ist nicht das, was gesucht war!


    Gesucht ist eine Formel, die das in einem Rutsch erledigt, für beliebiges n.

  • hehe, das schreibt er hier ja auch:

    Zitat

    Vermutlich gibt’s für Rg ja auch ne geschlossene Form (also ohne rekursiven Selbstverweis), aber
    1. kann man aus der rek. Form noch den Gedankengang 1-zu-1 ablesen,
    2. sieht die geschlossene Formel glaub ich komplizierter aus, ohne auch nur ansatzweise mehr zu koennen


    Ich frag mal nach, ob er sich das auch noch aus dem Ärmel schütteln kann.

  • Die rekursive Form sieht so aus:
    R_(n+1)=(R_n*R_a)/(R_n+R_a)+R_c
    mit R_1=R_a+R_c


    Man kanns relativ gut annähern, aber ordentlich kann ich euch nicht sagen was raus kommt.
    Für R_a=10 und R_c=2
    R(n)=a*n^(-1)+b*n^(-2)+c*n^(-3)+d
    mit
    a=-3,13546
    b=16,9361
    c=-7,51813
    d=5,71814



    hmm den oberen Teil hattet ihr ja schon bekommen


    Ich kann aber doch eine neue Erkenntnis liefern. Der Widerstand konvergiert unglaublich schnell gegen (R_c+(R_c^2+4R_a*R_c)^0,5)/2
    Für das Beispiel oben ist das 5,5825...

  • Hi Hiho (klingt lustig!) :-)


    Danke für den Beitrag.
    Wie auch immer Du auf diese Werte für a, b, c und d gekommen bist ...


    Nachgerechnet habe ich nicht, denn das Dumme: Diese ominösen Werte gelten ja sicherlich nur für Ra=10 Ohm und Rc=2 Ohm.
    Das hilft nicht wirklich weiter, denn dann müsste man ja für abweichende Ra und Rc zunächst wieder diese ominösen vier Parameter irgendwo her nehmen.
    Oder hast Du da ein richtig knackiges Verfahren, die zu ermitteln?


    Ich erinnere an die Aufgabenstellung.
    Gesucht ist nicht der RG für eine konkrete Kette, sondern gesucht die die Formel, die für eine beliebige Anzahl von identischen Gliedern, die aus beliebigen (aber stets gleichen) Widerständen für jeweils Ra und Rc gebildet wird, am Ende den RG ausspuckt.



    'Ne reale Kette mit 'nem Programm durchzurechnen, wäre einfach, wie weiter oben bewiesen. 12 Codezeilen und schon hat man den RG.
    Nur ist der RG nicht gefordert! Gesucht ist die Formel, die - mit den (belibigen!) Werten von Ra, Rc und n gefüttern - effektiv das gleiche tut, wie der Programmcode.