Eine nette Knobelei für den gestandenen Ledstyler:
Ihr wollt eine ordentlich lange, parallel verschaltete Lichterkette bauen.
Von einer perfekt stabilisierten Spannungsquelle gehen also zwei Drähte ab, an denen alle paar Zentimeter, in jeweils gleichem Abstand, eine Lampe hängt.
Der Gesamtstrom wird dummerweise so hoch, dass der Spannungsabfall über der Leitung berücksichtigt werden muss. Bei zu dünnem Draht werden die Lampen sonst zum Ende hin immer dunkler.
Was die Sache aber vereinfacht: Ihr habt - frisch aus der Zukunft - 'ne ganze Kiste eines völlig neuartiges Leuchtmittels mitgebracht, das sich ganz schlicht wie ein idealer Widerstand verhält!
Das folgende Bild zeigt oben das Prinzip einer solchen Lichterkette mit drei Lampen (Ra).
Alle Lampen (Ra) haben einen identischen Widerstandswert.
Die Rb sind die (unerwünschten, aber real nun mal vorhandenen) Widerstände der Kupferleitung.
[Blockierte Grafik: http://edv-dompteur.de/forum/Bilder/Lichterkette.jpg]
Wegen der stets gleichen Abstände sind die Rb der ersten Schaltung zum Glück natürlich alle identisch.
Im Ersatzschaltbild (untere Schaltung) habe ich das vereinfacht dargestellt und die jeweils oberen und unteren Rb zu einem Rc (mit logischerweise doppeltem Wert) zusammengefasst.
Beide Schaltungen sind für die folgende Berechnung also offensichtlich gleichwertig.
Kein Problem, da sonstwas zu berechnen, oder?
Aufgabe:
Gesucht ist jetzt erstens die Formel, die für eine beliebige Anzahl (n) gleichmäßig verteilter Lampen den Gesamtwiderstand der Kette berechnet.
Diesen bezeichnen wir als "RG".
Die Werte vom Lampenwiderstand Ra und Leitungswiderstand Rc sind dabei beliebig.
Zweitens ist jene Formel gesucht, die die Ausgangsspannung (UA) liefert, in Abhängigkeit von der Eingangsspannung. Natürlich ebenfalls für eine beliebige Anzahl gleichmäßig verteilter Lampen.
Nicht zugelassene Lösungen:
- Excel-Tabelle
- Ein Programm, das die Kette durchrechnet.
Zugelassene Lösung ist ausschließlich die jeweilige Formel, wie man sie gewöhnlich in einem Tabellenbuch abgedruckt finden würde.
Die Aufgabenstellung dürfte wohl unmissverständlich sein und gesucht sind wirklich nur die zwei Formeln (bitte mit Herleitung/Beweis), mit der man künftig eine jede Kette dieser Art durchrechnen kann.
Widerstand und Ausgangsspannung einer realen Kette sind dabei völlig uninteressant; nur die universellen Formeln für eine beliebige Anzahl (n) identischer Glieder sind gesucht.
- Zu banal für Vollprofis?
Na, dann probiert es doch mal!
Als ich neulich damit konfrontiert wurde und siegessicher verkündete, das wäre binnen ganz weniger Minuten erschlagen, habe ich mich aber schwer blamiert!
Nochmal zusammengefasst haben wir für die Formeln also folgende Parameter:
UE (Eingangsspannung)
Ra (Lampenwiderstand einer einzelnen Lampe)
Rc (Widerstand der zweiadrigen Leitung von Glied zu Folgeglied)
n (Anzahl identischer Glieder)
RG (gesuchter Gesamtwiderstand)
UA (gesuchte Ausgangsspannung)
- Viel Spaß!